【一】
1．下列說法中不正確的是()
A．數列a，a，a，…是無窮數列
B．1，－3，45，－7，－8，10不是一個數列
C．數列0，－1，－2，－3，…不一定是遞減數列
D．已知數列{an}，則{an＋1－an}也是一個數列
解析：選B.A，D顯然正確；對于B，是按照一定的順序排列的一列數，是數列，所以B不正確；對于C，數列只給出前四項，后面的項不確定，所以不一定是遞減數列．故選B.
2．已知數列{an}的通項公式為an＝1＋（－1）n＋12，則該數列的前4項依次為()
A．1，0，1，0B．0，1，0，1
C.12，0，12，0D．2，0，2，0
解析：選A.當n分別等于1，2，3，4時，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.
3．已知數列{an}的通項公式是an＝2n2－n，那么()
A．30是數列{an}的一項B．44是數列{an}的一項
C．66是數列{an}的一項D．90是數列{an}的一項
解析：選C.分別令2n2－n的值為30，44，66，90，可知只有2n2－n＝66時，n＝6(負值舍去)，為正整數，故66是數列{an}的一項．
4．已知數列的通項公式是an＝2，n＝1，n2－2，n≥2，則該數列的前兩項分別是()
A．2，4B．2，2
C．2，0D．1，2
解析：選B.當n＝1時，a1＝2；當n＝2時，a2＝22－2＝2.
5.如圖，各圖形中的點的個數構成一個數列，該數列的一個通項公式是()
A．an＝n2－n＋1B．an＝n（n－1）2
C．an＝n（n＋1）2D．an＝n（n＋2）2
解析：選C.法一：將各圖形中點的個數代入四個選項便可得到正確結果．圖形中，點的個數依次為1，3，6，10，代入驗證可知正確答案為C.
法二：觀察各個圖中點的個數，尋找相鄰圖形中點個數之間的關系，然后歸納一個通項公式．觀察點的個數的增加趨勢可以發現，a1＝1×22，a2＝2×32，a3＝3×42，a4＝4×52，所以猜想an＝n（n＋1）2，故選C.
6．若數列{an}的通項滿足ann＝n－2，那么15是這個數列的第________項．
解析：由ann＝n－2可知，an＝n2－2n.
令n2－2n＝15，得n＝5.
答案：5
7．已知數列{an}的前4項為11，102，1003，10004，則它的一個通項公式為________．
解析：由于11＝10＋1，102＝102＋2，1003＝103＋3，10004＝104＋4，…，所以該數列的一個通項公式是an＝10n＋n.
答案：an＝10n＋n
8．已知數列{an}的通項公式為an＝2017－3n，則使an>0成立的正整數n的值為________．
解析：由an＝2017－3n>0，得n<20173＝67213，又因為n∈N＋，所以正整數n的值為672.
答案：672
9．已知數列{n(n＋2)}：
(1)寫出這個數列的第8項和第20項；
(2)323是不是這個數列中的項？如果是，是第幾項？
解：(1)an＝n(n＋2)＝n2＋2n，所以a8＝80，a20＝440.
(2)由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17.
所以323是數列{n(n＋2)}中的項，是第17項．
10．已知數列2，74，2，…的通項公式為an＝an2＋bcn，求a4，a5.
解：將a1＝2，a2＝74代入通項公式，
得a＋bc＝2，4a＋b2c＝74，解得b＝3a，c＝2a，所以an＝n2＋32n，
所以a4＝42＋32×4＝198，a5＝52＋32×5＝145.
[B能力提升]
11．已知數列{an}的通項公式為an＝sinnθ，0<θ<π6，若a3＝12，則a15＝____________．
解析：a3＝sin3θ＝12，又0<θ<π6，所以0<3θ<π2，所以3θ＝π6，所以a15＝sin15θ＝sin56π＝12.
答案：12
12．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”.1852年英國來華傳教士偉烈亞利將《孫子算經》中“物不知數”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”．“中國剩余定理”講的是一個關于整除的問題，現有這樣一個整除問題：將2至2017這2016個數中能被3除余1且被5除余1的數按由小到大的順序排成一列，構成數列{an}，則此數列的項數為________．
解析：能被3除余1且被5除余1的數就是能被15整除余1的數，故an＝15n－14.
由an＝15n－14≤2017得n≤135.4，當n＝1時，此時a1＝1，不符合，故此數列的項數為135－1＝134.
答案：134
13．在數列{an}中，a1＝3，a17＝67，通項公式是關于n的一次函數．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)求a2016；
(3)2017是否為數列{an}中的項？若是，為第幾項？
解：(1)設an＝kn＋b(k≠0)．
由a1＝3，且a17＝67，得k＋b＝317k＋b＝67，
解之得k＝4且b＝－1.所以an＝4n－1.
(2)易得a2016＝4×2016－1＝8063.
(3)令2017＝4n－1，得n＝20184＝10092∉N＋，
所以2017不是數列{an}中的項．
14．(選做題)已知數列9n2－9n＋29n2－1，
(1)求這個數列的第10項；
(2)98101是不是該數列中的項，為什么？
(3)求證：數列中的各項都在區間(0，1)內；
(4)在區間13，23內是否有數列中的項？若有，有幾項？若沒有，說明理由．
解：(1)設an＝9n2－9n＋29n2－1＝（3n－1）（3n－2）（3n－1）（3n＋1）＝3n－23n＋1.令n＝10，得第10項a10＝2831.
(2)令3n－23n＋1＝98101，得9n＝300.此方程無正整數解，所以98101不是該數列中的項．
(3)證明：因為an＝3n－23n＋1＝3n＋1－33n＋1＝1－33n＋1，
又n∈N＋，所以0<33n＋1<1，所以0 所以數列中的各項都在區間(0，1)內． (4)令13<3n－23n＋1<23，所以3n＋1<9n－6，9n－6<6n＋2， 所以n>76，n<83.所以76 當且僅當n＝2時，上式成立，故區間13，23內有數列中的項，且只有一項為a2＝47. 【二】 1．為了解1000名學生的學習情況，采用系統抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本，則分段的間隔為() A．50B．40 C．25D．20 解析：選C.根據系統抽樣的特點，可知分段間隔為100040＝25. 2．某城區有農民、工人、知識分子家庭共計2000戶，其中農民家庭1800戶，工人家庭100戶，知識分子家庭100戶．現要從中抽取容量為40的樣本，以調查家庭收入情況，則在整個抽樣過程中，可以用到的抽樣方法有() ①簡單隨機抽樣；②系統抽樣；③分層抽樣． A．②③B．①③ C．③D．①②③ 解析：選D.由于各類家庭有明顯差異，所以首先應用分層抽樣的方法分別從三類家庭中抽出若干戶．又由于農民家庭戶數較多，那么在農民家庭這一層宜采用系統抽樣；而工人、知識分子家庭戶數較少，宜采用簡單隨機抽樣．故整個抽樣過程要用到①②③三種抽樣方法． 3．從2004名學生中選取50名組成參觀團，若采用下面的方法選取：先利用簡單隨機抽樣從2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系統抽樣的方法進行，則每人入選的機會() A．不全相等B．均不相等 C．都相等D．無法確定 解析：選C.系統抽樣是等可能的，每人入樣的機率均為502004. 4．總體容量為524，若采用系統抽樣，當抽樣的間距為下列哪一個數時，不需要剔除個體() A．3B．4 C．5D．6 解析：選B.由于只有524÷4沒有余數，故選B. 5．某單位有840名職工，現采用系統抽樣方法抽取42人做問卷調查，將840人按1，2，…，840隨機編號，則抽取的42人中，編號落入區間[481，720]的人數為() A．11B．12 C．13D．14 解析：選B.法一：分段間隔為84042＝20.設在1，2，…，20中抽取的號碼為x0，在[481，720]之間抽取的號碼記為20k＋x0，則481≤20k＋x0≤720，k∈N*，所以24120≤k＋x020≤36. 因為x020∈120，1， 所以k＝24，25，26，…，35. 所以k值共有35－24＋1＝12(個)，即所求人數為12. 法二：使用系統抽樣的方法，從840人中抽取42人，即每20人中抽取1人，所以在區間[481，720]抽取的人數為720－48020＝12. 6．為了了解1203名學生對學校某項教改試驗的意見，打算從中抽取一個容量為40的樣本，現采用選取的號碼間隔一樣的系統抽樣方法來確定所選取樣本，則抽樣間隔k＝________． 解析：由于120340不是整數，所以從1203名學生中隨機剔除3名，則抽樣間隔k＝120040＝30. 答案：30 7．某高三(1)班有學生56人，學生編號依次為01，02，03，…，56.現用系統抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本，已知編號為06，34，48的同學在樣本中，那么樣本中另一位同學的編號應該是________． 解析：由于系統抽樣的樣本中個體編號是等距的，且間距為564＝14，所以樣本編號應為06，20，34，48. 答案：20 8．為了了解學生對某網絡游戲的態度，高三(11)班計劃在全班60人中展開調查．根據調查結果，班主任計劃采用系統抽樣的方法抽取若干名學生進行座談，為此先對60名學生進行編號：01，02，03，…，60.已知抽取的學生中最小的兩個編號為03，09，則抽取的學生中的編號為________． 解析：由最小的兩個編號為03，09可知，抽樣距為k＝9－3＝6，而總體容量N＝60，所以樣本容量n＝Nk＝10，即抽取10名同學，的編號為第10組抽取的個體的編號，故編號為3＋9×6＝57. 答案：57 9．某批產品共有1564件，產品按出廠順序編號，號碼從1到1564，檢測員要從中抽取15件產品做檢測，請你給出一個系統抽樣方案． 解：(1)先從1564件產品中，用簡單隨機抽樣的方法抽出4件產品，將其剔除． (2)將余下的1560件產品編號：1，2，3，…，1560. (3)取k＝156015＝104，將總體均分為15組，每組含104個個體． (4)從第一組，即1號到104號利用簡單隨機抽樣法抽取一個編號s. (5)按編號把s，104＋s，208＋s，…，1456＋s共15個編號選出，這15個編號所對應的產品組成樣本． 10．下面給出某村委會調查本村各戶收入情況做的抽樣，閱讀并回答問題．本村人口數：1200，戶數300，每戶平均人口數4人；應抽戶數：30； 抽樣間隔：120030＝40； 確定隨機數字：從標有1～30的號碼中隨機抽取一張，為12. 確定第一樣本戶：編號12的戶為第一樣本戶； 確定第二樣本戶：12＋40＝52，52號為第二樣本戶； … (1)該村委會采用了何種抽樣方法？ (2)抽樣過程存在哪些問題？試修改； (3)何處是用簡單隨機抽樣？ 解：(1)系統抽樣． (2)本題是對某村各戶進行抽樣，而不是對某村人口抽樣．抽樣間隔30030＝10，其他步驟相應改為確定隨機數字：從標有1～10的號碼中隨機抽取一張，為2.(假設)確定第一樣本戶：編號02的住戶為第一樣本戶；確定第二樣本戶：2＋10＝12，12號為第二樣本戶． (3)確定隨機數字：從標有1～30的號碼中隨機抽取一張，為12. [B能力提升] 11．為了檢測125個電子元件的質量，欲利用系統抽樣的方法從中抽取容量為1Δ(Δ中的數字被墨水污染，無法分辨)的樣本進行檢測，若在抽樣時首先利用簡單隨機抽樣剔除了5個個體，則Δ中的數字有() A．1種可能B．2種可能 C．3種可能D．4種可能 解析：選C.由于125－5＝120＝10×12＝15×8，故有3種可能，分別為0，2，5. 12．已知某種型號的產品共有N件，且40＜N＜50，現需要利用系統抽樣抽取樣本進行質量檢測，若樣本容量為7，則不需要剔除；若樣本容量為8，則需要剔除1個個體，則N＝________． 解析：因為樣本容量為7時，不需要剔除，所以總體的容量N為7的倍數，又40＜N＜50，所以N＝42或49.若N＝42，因為42除以8的余數為2，所以當樣本容量為8時，需要剔除2個個體，不符合題意；若N＝49，因為49除以8的余數為1，所以當樣本容量為8時，需要剔除1個個體，滿足題意，故N＝49. 答案：49 13．為了調查某路口一個月的車流量情況，*采用系統抽樣的方法，樣本距為7，從每周中隨機抽取一天，他正好抽取的是星期日，經過調查后做出報告．你認為*這樣的抽樣方法有什么問題？應當怎樣改進？如果是調查一年的車流量情況呢？ 解：*所統計的數據以及由此所推斷出來的結論，只能代表星期日的交通流量．由于星期日是休息時間，很多人不上班，不能代表其他幾天的情況． 改進方法可以將所要調查的時間段的每一天先隨機地編號，再用系統抽樣方法來抽樣，或者使用簡單隨機抽樣來抽樣亦可． 如果是調查一年的交通流量，使用簡單隨機抽樣法顯然已不合適，比較簡單可行的方法是把樣本距改為8. 14．(選做題)一個總體中的1000個個體編號為0，1，2，…，999，并依次將其均分為10個小組，組號為0，1，2，…，9，要用系統抽樣方法抽取一個容量為10的樣本，規定如果在第0組隨機抽取的號碼為x，那么依次錯位地得到后面各組的號碼，即第k組中抽取的號碼的后兩位數為x＋33k的后兩位數． (1)當x＝24時，寫出所抽取樣本的10個號碼； (2)若所抽取樣本的10個號碼中有一個的后兩位數是87，求x的取值范圍． 解：(1)由題意知此系統抽樣的間隔是100，根據x＝24和題意得，24＋33×1＝57，第1組抽取的號碼是157；由24＋33×2＝90，則在第2組抽取的號碼是290，… 故依次是24，157，290，323，456，589，622，755，888，921. (2)由x＋33×0＝87得x＝87，由x＋33×1＝87得x＝54，由x＋33×2＝87，得x＝21，由x＋33×3＝187得x＝88…，依次求得x值可能為21，22，23，54，55，56，87，88，89，90.
