【篇一】
一、完全平(ping)方數的定義(yi)：
一(yi)個數(shu)(shu)如果是另一(yi)個整數(shu)(shu)的完全平方，那么我們就稱(cheng)這個數(shu)(shu)為完全平方數(shu)(shu)，也(ye)叫做平方數(shu)(shu)。
二、完(wan)全(quan)平(ping)方數特征：
1.末位數字只能(neng)是(shi)：0、1、4、5、6、9;反之不成立。
2.除以3余0或余1;反(fan)之不成立。
3.除以(yi)4余0或(huo)余1;反之不成立。
4.約數(shu)個數(shu)為(wei)奇數(shu);反之成立。
5.奇數的平方的十位數字(zi)為偶(ou)數;反(fan)之不成立(li)。
6.奇數(shu)(shu)(shu)平方(fang)個位(wei)數(shu)(shu)(shu)字(zi)是奇數(shu)(shu)(shu);偶數(shu)(shu)(shu)平方(fang)個位(wei)數(shu)(shu)(shu)字(zi)是偶數(shu)(shu)(shu)。
7.兩個相臨整(zheng)數(shu)的平方(fang)之間(jian)不可能再有(you)平方(fang)數(shu)。
平(ping)方差(cha)公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y)
完全平方和公式：(X+Y)2=X2+2XY+Y2
完全平(ping)方差(cha)公式：(X-Y)2=X2-2XY+Y2
三、完全平方(fang)數的性質：
性質1：完(wan)全平方數(shu)的末位數(shu)只能是0,1,4,5,6,9。
性質2：奇數的平方的個位數字為奇數，十位數字為偶數。
【篇二】
例題
例(li)1、一個自然數減去(qu)45及(ji)加(jia)上44都仍是完全平方(fang)數，求(qiu)此(ci)數。
解：設(she)此自然數為x，依題意可得
x-45=m^2................(1)
x+44=n^2................(2)(m,n為(wei)自然數)
(2)-(1)可得(de)n^2-m^2=89,(n+m)(n-m)=89
但89為質數，它(ta)的(de)正因(yin)子只(zhi)能是1與(yu)89，于是。解之，得n=45。代(dai)入(ru)(2)得。故(gu)所求的(de)自然數是1981。
例2、求證：四個(ge)連續的(de)(de)整(zheng)數(shu)的(de)(de)積加上(shang)1，等于一個(ge)奇(qi)數(shu)的(de)(de)平方。
分析(xi)：設四(si)個連續的(de)整數(shu)為n,(n+1),(n+2),(n+3)，其中n為整數(shu)。欲證
n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一(yi)(yi)奇數(shu)的平方，只需將它通過因式(shi)分解而(er)變成一(yi)(yi)個奇數(shu)的平方即可。
證明：設(she)這四個整數之(zhi)積加(jia)上1為m，則
m=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2=[n(n+1)+(2n+1)]^2
而n(n+1)是兩個連續整數的積，所以是偶數;又因為2n+1是奇數，因而n(n+1)+2n+1是奇數。這就證明了m是一個奇數的平方。
【篇三】
練習題
1、祖孫(sun)三人(ren)，孫(sun)子和爺(ye)(ye)爺(ye)(ye)的年(nian)齡的乘積是1512，而爺(ye)(ye)爺(ye)(ye)、父(fu)(fu)親、孫(sun)子三人(ren)的年(nian)齡之積是完全平方數(shu)，則父(fu)(fu)親的年(nian)齡是()歲。
2、小(xiao)明(ming)媽媽買了4張(zhang)(zhang)體育彩票，第(di)(di)一張(zhang)(zhang)的(de)末三(san)位(wei)(wei)是(shi)(shi)125;第(di)(di)二張(zhang)(zhang)的(de)末位(wei)(wei)是(shi)(shi)4，倒數(shu)第(di)(di)四位(wei)(wei)是(shi)(shi)5;第(di)(di)三(san)張(zhang)(zhang)的(de)末位(wei)(wei)是(shi)(shi)1，倒數(shu)第(di)(di)四位(wei)(wei)是(shi)(shi)7;第(di)(di)四張(zhang)(zhang)的(de)末三(san)位(wei)(wei)是(shi)(shi)280。媽媽說這(zhe)(zhe)中(zhong)(zhong)間(jian)有一張(zhang)(zhang)是(shi)(shi)中(zhong)(zhong)獎(jiang)的(de)，中(zhong)(zhong)獎(jiang)號碼是(shi)(shi)一個四位(wei)(wei)數(shu)，就是(shi)(shi)彩票中(zhong)(zhong)的(de)最(zui)后四位(wei)(wei)與它相同(tong)便是(shi)(shi)中(zhong)(zhong)獎(jiang)彩票，且這(zhe)(zhe)個四位(wei)(wei)數(shu)正(zheng)好是(shi)(shi)個平方數(shu)。小(xiao)明(ming)確(que)定中(zhong)(zhong)獎(jiang)號碼為()。
3、將16分解成若干個質數(可以相(xiang)同)相(xiang)加(jia)的形式，如果這些質數的乘積正好是平(ping)(ping)方數，那么(me)這個平(ping)(ping)方數所(suo)有可能的值(zhi)的和是()。
4、11……1111……11的(de)各(ge)位(wei)數字之和是()。
5、一位一百多歲的老壽星，公元x年時年齡為x歲，則此老壽星現年()歲。
