含有一個未知數且未知數的次數為2的不等式叫做一元二次不等式。它的一般形式是 ax²+bx+c>0 或 ax²+bx+c<0(a不等于0)其中ax²+bx+c是實數域內的二次三項式。
解法
解法一
當△=b²-4ac≥0時，
一元二次方程ax²+bx+c=0 有兩個實根，那么ax²+bx+c可分解為如a(x-x1)(x-x2)的形式。
這樣，解一元二次不等式就可歸結為解兩個一元一次不等式組。一元二次不等式的解集就是這兩個一元一次不等式組的解集的交集。
舉例：
試解一元二次不等式
蘇教版高三數學上冊第三單元知識點：一元二次不等式
解：
利用十字相乘法：
蘇教版高三數學上冊第三單元知識點：一元二次不等式
2x -3
x -2
得(2x-3)(x-2)<0
然后，分兩種情況討論。
口訣同一元一次不等式的“數軸法”：大大取大，小小取小;大小小大取中間，小小大大沒有解。
1) 2x-3<0，x-2>0
得x<1.5且x>2(不成立)
2)2x-3>0，x-2<0
得x>1.5且x<2。
得最終不等式的解集為：
蘇教版高三數學上冊第三單元知識點：一元二次不等式
解法二
此外，亦可用配方法解一元二次不等式。
如上例題中：
2x²-7x+6
=2(x²-3.5x)+6
=2(x²-3.5x+3.0625-3.0625)+6
=2(x²-3.5x+3.0625)-6.125+6
=2(x-1.75)²-0.125<0
2(x-1.75)²<0.125
(x-1.75)²<0.0625
兩邊開平方，得：x-1.75<0.25且x-1.75>-0.25
x<2且x>1.5
得不等式的解集為
蘇教版高三數學上冊第三單元知識點：一元二次不等式
解法三
一元二次不等式也可通過一元二次函數圖象進行求解。
通過看圖象可知，二次函數圖象與X軸的兩個交點，然后根據題中所需求"<0"或">0"而推出答案。
求一元二次不等式的解集實際上是將這個一元二次不等式的所有項移到不等式一側并進行因式分解分類討論求出解集。解一元二次不等式，可將一元二次方程不等式轉化成二次函數的形式，求出函數與X軸的交點，將一元二次不等式，二次函數，一元二次方程聯系起來，并利用圖象法進行解題，使得問題簡化。解法四
數軸穿根：用穿根法解高次不等式時，就是先把不等式一端化為零，再對另一端分解因式，并求出它的零點，把這些零點標在數軸上，再用一條光滑的曲線，從x軸的右端上方起，依次穿過這些零點，這大于零的不等式的解對應這曲線在x軸上方部分的實數x得起值集合，小于零的這相反。這種方法叫做序軸穿根法，又叫“穿根法”。口訣是“從右到左，從上到下，奇穿偶不穿。”
●做法:
1.把二次項系數變成正的(不用是1,但是得出者為正解);
2.畫數軸,在數軸上從小到大依次標出所有根;
3.從右上角開始,一上一下依次穿過不等式的根，奇過偶不過
(即遇到含X的項是奇次冪就穿過,偶次冪就跨過。后文有詳細介紹);
4.注意看看題中不等號有沒有等號,沒有的話還要注意寫結果時舍去使不等式為0的根。
●例如不等式: x²-3x+2≤0(次項系數一定要為正，不為正要化成正的)
⒈分解因式:(x-1)(x-2)≤0;
⒉找方程(x-1)(x-2)=0的根:x=1或x=2;
⒊畫數軸,并把根所在的點標上去;
⒋注意，此時從最右端開始,從2的右上方引出一條曲線,經過點2，繼續向左繪制,類似于拋物線，再經過點1，向點1的左上方無限延伸;
⒌看題求解,題中要求求≤0的解，那么只需在數軸上觀察哪一段在數軸及數軸以下即可,觀察可以得到：1≤x≤2。[1]
●高次不等式亦如此。例如一個分解因式后所得之不等式：
x(x+2)(x-1)(x-3)>0
照例，先找方程x(x+2)(x-1)(x-3)=0的根：
x=0，x=1，x=-2，x=3
在數軸上依次標出這些點.還是從最右邊的一點3的右上方引出一條曲線,經過點3,在1、3之間類似于一個開口向上的拋物線，經過點1;繼續向點1的左上方延伸，這條曲線在點0、1之間類似于一條開口向下的曲線，經過點0;繼續向0的左下方延伸，在0、-2之間類似于一條開口向上的拋物線，經過點-2;繼續向點-2的左上方無限延伸。
方程中要求的是>0，
只需觀察曲線在數軸上方的部分所取的x的范圍即可。
x<-2或03。
●⑴遇到根是分數或無理數和遇到整數時的處理方法是一樣的,都是在數軸上把這個根的位置標出來;
⑵“奇過偶不過”中的“奇、偶”指的是分解因式后,某個因數的指數是奇數或者偶數;
比如對于不等式(X-2)²·(X-3)>0
(X-2)的指數是2,是偶數,所以在數軸上畫曲線時就不穿過2這個點，
而(X-3)的指數是1,是奇數,所以在數軸上畫曲線時就要穿過3這個點。
(3)分子中一定都是能夠因式分解成一次式的因式，否則不能用此方法。[1]
判別方法
當 a>0 時：
判別式△(b²-4ac)>0時，ax²+bx+c=0有兩個不相等的根(設x10的解集是：
蘇教版高三數學上冊第三單元知識點：一元二次不等式
或
蘇教版高三數學上冊第三單元知識點：一元二次不等式
。
判別式△(b²-4ac)=0時，因為a>0，二次函數圖象拋物線的開口向上，拋物線與x軸有一個交點，則x1=x2，所以不等式ax²+bx+c>0的解集是x≠x1的全體實數，而不等式ax²+bx+c<0的解集是空集。
判別式△(b²-4ac)<0時，拋物線在x軸的上方與x軸沒有交點。所以不等式ax²+bx+c>0的解集是全體實數，而不等式ax²+bx+c<0的解是空集。(無解)
當 a<0 時：
判別式△(b²-4ac)>0時，ax²+bx+c=0有兩個不相等的根(設x10的解集是：x1
判別式△(b²-4ac)=0時，因為a<0，二次函數圖象拋物線的開口向下，拋物線與橫軸有一個交點，則x1=x2，所以不等式ax²+bx+c<0的解集是x≠x1的全體實數，而不等式ax²+bx+c>0的解集是空集。
判別式△(b²-4ac)<0時，拋物線在x軸的下方與x軸沒有交點。所以不等式ax²+bx+c<0的解集是全體實數，而不等式ax²+bx+c>0的解是空集。(無解)
解法
解法一
當△=b²-4ac≥0時，
一元二次方程ax²+bx+c=0 有兩個實根，那么ax²+bx+c可分解為如a(x-x1)(x-x2)的形式。
這樣，解一元二次不等式就可歸結為解兩個一元一次不等式組。一元二次不等式的解集就是這兩個一元一次不等式組的解集的交集。
舉例：
試解一元二次不等式
蘇教版高三數學上冊第三單元知識點：一元二次不等式
解：
利用十字相乘法：
蘇教版高三數學上冊第三單元知識點：一元二次不等式
2x -3
x -2
得(2x-3)(x-2)<0
然后，分兩種情況討論。
口訣同一元一次不等式的“數軸法”：大大取大，小小取小;大小小大取中間，小小大大沒有解。
1) 2x-3<0，x-2>0
得x<1.5且x>2(不成立)
2)2x-3>0，x-2<0
得x>1.5且x<2。
得最終不等式的解集為：
蘇教版高三數學上冊第三單元知識點：一元二次不等式
解法二
此外，亦可用配方法解一元二次不等式。
如上例題中：
2x²-7x+6
=2(x²-3.5x)+6
=2(x²-3.5x+3.0625-3.0625)+6
=2(x²-3.5x+3.0625)-6.125+6
=2(x-1.75)²-0.125<0
2(x-1.75)²<0.125
(x-1.75)²<0.0625
兩邊開平方，得：x-1.75<0.25且x-1.75>-0.25
x<2且x>1.5
得不等式的解集為
蘇教版高三數學上冊第三單元知識點：一元二次不等式
解法三
一元二次不等式也可通過一元二次函數圖象進行求解。
通過看圖象可知，二次函數圖象與X軸的兩個交點，然后根據題中所需求"<0"或">0"而推出答案。
求一元二次不等式的解集實際上是將這個一元二次不等式的所有項移到不等式一側并進行因式分解分類討論求出解集。解一元二次不等式，可將一元二次方程不等式轉化成二次函數的形式，求出函數與X軸的交點，將一元二次不等式，二次函數，一元二次方程聯系起來，并利用圖象法進行解題，使得問題簡化。解法四
數軸穿根：用穿根法解高次不等式時，就是先把不等式一端化為零，再對另一端分解因式，并求出它的零點，把這些零點標在數軸上，再用一條光滑的曲線，從x軸的右端上方起，依次穿過這些零點，這大于零的不等式的解對應這曲線在x軸上方部分的實數x得起值集合，小于零的這相反。這種方法叫做序軸穿根法，又叫“穿根法”。口訣是“從右到左，從上到下，奇穿偶不穿。”
●做法:
1.把二次項系數變成正的(不用是1,但是得出者為正解);
2.畫數軸,在數軸上從小到大依次標出所有根;
3.從右上角開始,一上一下依次穿過不等式的根，奇過偶不過
(即遇到含X的項是奇次冪就穿過,偶次冪就跨過。后文有詳細介紹);
4.注意看看題中不等號有沒有等號,沒有的話還要注意寫結果時舍去使不等式為0的根。
●例如不等式: x²-3x+2≤0(次項系數一定要為正，不為正要化成正的)
⒈分解因式:(x-1)(x-2)≤0;
⒉找方程(x-1)(x-2)=0的根:x=1或x=2;
⒊畫數軸,并把根所在的點標上去;
⒋注意，此時從最右端開始,從2的右上方引出一條曲線,經過點2，繼續向左繪制,類似于拋物線，再經過點1，向點1的左上方無限延伸;
⒌看題求解,題中要求求≤0的解，那么只需在數軸上觀察哪一段在數軸及數軸以下即可,觀察可以得到：1≤x≤2。[1]
●高次不等式亦如此。例如一個分解因式后所得之不等式：
x(x+2)(x-1)(x-3)>0
照例，先找方程x(x+2)(x-1)(x-3)=0的根：
x=0，x=1，x=-2，x=3
在數軸上依次標出這些點.還是從最右邊的一點3的右上方引出一條曲線,經過點3,在1、3之間類似于一個開口向上的拋物線，經過點1;繼續向點1的左上方延伸，這條曲線在點0、1之間類似于一條開口向下的曲線，經過點0;繼續向0的左下方延伸，在0、-2之間類似于一條開口向上的拋物線，經過點-2;繼續向點-2的左上方無限延伸。
方程中要求的是>0，
只需觀察曲線在數軸上方的部分所取的x的范圍即可。
x<-2或03。
●⑴遇到根是分數或無理數和遇到整數時的處理方法是一樣的,都是在數軸上把這個根的位置標出來;
⑵“奇過偶不過”中的“奇、偶”指的是分解因式后,某個因數的指數是奇數或者偶數;
比如對于不等式(X-2)²·(X-3)>0
(X-2)的指數是2,是偶數,所以在數軸上畫曲線時就不穿過2這個點，
而(X-3)的指數是1,是奇數,所以在數軸上畫曲線時就要穿過3這個點。
(3)分子中一定都是能夠因式分解成一次式的因式，否則不能用此方法。[1]
判別方法
當 a>0 時：
判別式△(b²-4ac)>0時，ax²+bx+c=0有兩個不相等的根(設x10的解集是：
蘇教版高三數學上冊第三單元知識點：一元二次不等式
或
蘇教版高三數學上冊第三單元知識點：一元二次不等式
。
判別式△(b²-4ac)=0時，因為a>0，二次函數圖象拋物線的開口向上，拋物線與x軸有一個交點，則x1=x2，所以不等式ax²+bx+c>0的解集是x≠x1的全體實數，而不等式ax²+bx+c<0的解集是空集。
判別式△(b²-4ac)<0時，拋物線在x軸的上方與x軸沒有交點。所以不等式ax²+bx+c>0的解集是全體實數，而不等式ax²+bx+c<0的解是空集。(無解)
當 a<0 時：
判別式△(b²-4ac)>0時，ax²+bx+c=0有兩個不相等的根(設x10的解集是：x1
判別式△(b²-4ac)=0時，因為a<0，二次函數圖象拋物線的開口向下，拋物線與橫軸有一個交點，則x1=x2，所以不等式ax²+bx+c<0的解集是x≠x1的全體實數，而不等式ax²+bx+c>0的解集是空集。
判別式△(b²-4ac)<0時，拋物線在x軸的下方與x軸沒有交點。所以不等式ax²+bx+c<0的解集是全體實數，而不等式ax²+bx+c>0的解是空集。(無解)
