第Ⅰ卷(選擇題(ti)共50分)
一(yi)、選(xuan)擇題(ti)：本大題(ti)共(gong)10小題(ti)，每(mei)小題(ti)5分(fen)，共(gong)50分(fen).在每(mei)小題(ti)給出的(de)(de)四個選(xuan)項(xiang)中有(you)且(qie)只有(you)一(yi)項(xiang)是符合題(ti)目要求的(de)(de)，把答案(an)填在答題(ti)卡的(de)(de)相應位(wei)置。
1.已(yi)知(zhi)平面向量(liang)，，且，則實數的值為
A.B.C.D.
2.設(she)集合，，若，則實數的值為
A.B.C.D.
3.已(yi)知直線(xian)平面,直線(xian),則(ze)“”是“”的
A.充分不必要(yao)條(tiao)件B.必要(yao)不充分條(tiao)件C.充要(yao)條(tiao)件D.既不充分也不必要(yao)條(tiao)件
4.定義：.若復數滿(man)足，則等于
A.B.C.D.
5.函數在(zai)處的(de)切(qie)線方(fang)程是
A.B.C.D.
6.某程序框圖如右圖所(suo)示，現輸入如下四個函(han)數，
則可以(yi)輸出的函數是
A.B.C.D.
7.若函數(shu)的圖(tu)象(部(bu)分)如圖(tu)所示，
則和的取值是
A.B.
C.D.
8.若函(han)數的零(ling)點(dian)與的零(ling)點(dian)之差(cha)的絕(jue)對值(zhi)不(bu)超過，則可以是
A.B.C.D.
9.已(yi)知，若方程(cheng)存在三個不等的(de)實(shi)根，則的(de)取值(zhi)范圍是
A.B.C.D.
10.已知集合,。若存在(zai)實數使(shi)得成立,稱點(dian)為“￡”點(dian)，則“￡”點(dian)在(zai)平面(mian)區域內的個數是
A.0B.1C.2D.無(wu)數個
第二卷(非(fei)選擇題(ti)共100分)
二(er)、填(tian)空(kong)題(ti)：本大題(ti)共5小(xiao)題(ti)，每小(xiao)題(ti)4分，共20分.把答案(an)填(tian)在答題(ti)卡上.
11.已知隨機變量，若，則等于******.
12.某幾(ji)何體的三視圖(tu)如下右圖(tu)所示，則這個幾(ji)何體的體積是******.
13.已知拋物線(xian)(xian)的準線(xian)(xian)與雙曲線(xian)(xian)相切，
則雙曲(qu)線的離心率******.
14.在平面直角坐標系中,不(bu)等(deng)式(shi)組所表示的平面區域的面積是9，則實(shi)數的值為******.
15.已(yi)知不等(deng)式(shi)，若對任意且，該不等(deng)式(shi)恒(heng)成立，則實(shi)
數的取值范圍是******.
三、解答題(ti)：本大(da)題(ti)共6小題(ti)，共80分.解答應(ying)寫出文(wen)字(zi)說明，演算步驟或(huo)證明過(guo)程.
16.(本小題滿分(fen)13分(fen))
在等差數列中，，其前項和為(wei)，等比(bi)數列的(de)各項均為(wei)正(zheng)數，，公比(bi)為(wei)，且，.
(Ⅰ)求與;
(Ⅱ)證明：.
17.(本小題滿分13分)
已知向量
(Ⅰ)求的(de)解析式;
(Ⅱ)求由的圖象、軸(zhou)的正(zheng)半(ban)軸(zhou)及軸(zhou)的正(zheng)半(ban)軸(zhou)三(san)者(zhe)圍成(cheng)圖形的面積(ji)。
18.(本(ben)小題滿分(fen)13分(fen))圖一，平(ping)面四邊形關于(yu)直線(xian)對稱，，，.把沿折(zhe)起(如(ru)圖二(er))，使二(er)面角的余弦值等于(yu).
對于(yu)圖二，完成以下各(ge)小(xiao)題：
(Ⅰ)求兩點(dian)間的(de)距離;
(Ⅱ)證明：平面(mian);
(Ⅲ)求直(zhi)線(xian)與平面所成角的正弦值.
19.(本小題滿分13分)二十(shi)世紀50年代，日本熊本縣水俁市的(de)(de)許多(duo)居民都患了運動失調、四肢麻木等癥狀，人(ren)們(men)把它稱為(wei)水俁病.經調查(cha)發現一家工廠排出的(de)(de)廢水中含有*汞(gong)(gong)，使(shi)魚類(lei)受(shou)到污染.人(ren)們(men)長期食用(yong)含高濃度*汞(gong)(gong)的(de)(de)魚類(lei)引(yin)起(qi)汞(gong)(gong)中毒.引(yin)起(qi)世人(ren)對食品(pin)安全(quan)的(de)(de)關注.《中華人(ren)民共和國環(huan)境(jing)保*》規定食品(pin)的(de)(de)汞(gong)(gong)含量(liang)不(bu)得超過(guo)1.00ppm.
羅非(fei)魚是體型較大，生命周期長的食(shi)肉(rou)魚，其體內汞含(han)量比其他魚偏(pian)高.現從一批羅非(fei)魚中隨機地抽(chou)出15條作樣本，經檢測得各條魚的汞含(han)量的莖葉圖(以小數(shu)點前一位(wei)(wei)數(shu)字為莖，小數(shu)點后(hou)一位(wei)(wei)數(shu)字為葉)如下(xia)：
(Ⅰ)若(ruo)某檢(jian)查人員從這15條魚中，隨機地抽出3條，求恰有1條魚汞(gong)含量超標(biao)的概率;
(Ⅱ)以此15條(tiao)魚的(de)(de)樣(yang)本(ben)數據來估計這批魚的(de)(de)總體數據.若從這批數量很(hen)大的(de)(de)魚中任選3條(tiao)魚，記ξ表示抽到的(de)(de)魚汞含量超標(biao)的(de)(de)條(tiao)數，求ξ的(de)(de)分布列及(ji)Eξ
20.(本小題滿分(fen)14分(fen))
已知焦點在軸上的橢(tuo)圓過(guo)點，且離(li)心率(lv)為(wei),為(wei)橢(tuo)圓的左頂點.
(1)求橢圓的標(biao)準(zhun)方(fang)程;
(2)已知過點的直線(xian)與橢圓交(jiao)于，兩(liang)點.
①若直(zhi)線(xian)垂直(zhi)于軸，求的大(da)小;
②若直(zhi)線(xian)(xian)與軸(zhou)不垂直(zhi)，是(shi)否存在(zai)直(zhi)線(xian)(xian)使得為等腰(yao)三角形?如果存在(zai)，求(qiu)出直(zhi)線(xian)(xian)的(de)方程;如果不存在(zai)，請說明(ming)理由.
21.(本小(xiao)題共14分)
已(yi)知是由滿足下(xia)述條件的(de)函數(shu)構成的(de)集合：對任意，
①方程有實數根;②函數的導數滿足.
普通高中2012—2013學年第一學期三明一、二中聯合考試
高(gao)三(san)數學(理科)答案
三、解答題
16.解：(Ⅰ)設的公差為，
因為所以…………………………………………3分(fen)
解得或(舍)，.
故，.……………………………………6分
(Ⅱ)因為，
所以.……………………………………9分
故
…………………………………………………………………11分
因為≥，所以≤，于是(shi)≤，
所以≤.
即(ji)≤……………………………………………13分
17.解(jie)：(Ⅰ)…………2分
………………………………4分
………………………………6分
，
∴。……………………………………………………………………7分
(Ⅱ)令=0,解(jie)得(de)
易知(zhi)的圖象與軸正(zheng)半軸的第一(yi)個交點為。……………………9分
所以的圖象(xiang)、軸(zhou)(zhou)的正半軸(zhou)(zhou)及x軸(zhou)(zhou)的正半軸(zhou)(zhou)三者(zhe)圍成(cheng)圖形的面積
。……………………………………………………………11分
……………………………………………………………13分
18.解：(Ⅰ)取的中點，連接，
由，得：
∴就是二面角的平面角，即…………………2分
在中，解得，又
，解得。…………………………………………4分
(Ⅱ)由，
∴，∴，
∴，又，∴平面.……………8分(fen)
(Ⅲ)方法一：由(Ⅰ)知(zhi)平面(mian)，平面(mian)
∴平(ping)面(mian)(mian)(mian)平(ping)面(mian)(mian)(mian)，平(ping)面(mian)(mian)(mian)平(ping)面(mian)(mian)(mian)，
就是(shi)與平面所成的角。……………………………………………11分
∴.……………………………………………13分
方法二：設點到平面(mian)的距離為(wei)，
∵，，
∴，……………………………………………………………………………11分
于(yu)是與平面(mian)所成角的正弦為.………………………13分
方法三：以(yi)所在直線分別為(wei)軸(zhou)，軸(zhou)和(he)軸(zhou)建立空間直角(jiao)坐標系(xi)，
則.
設平面的法向(xiang)量為，則
，，，，
取，則，………………………………………………………11分
于是與(yu)平(ping)面所成角的正弦.………13分
19.解：(I)記“15條魚(yu)中(zhong)任(ren)選3條恰好有1條魚(yu)汞含量(liang)超(chao)標”為事(shi)件A
則.
∴15條(tiao)魚中任選(xuan)3條(tiao)恰好(hao)有1條(tiao)魚汞含量(liang)超標(biao)的概率為………………5分
(II)解(jie)法一：依題意可知，這(zhe)批羅非魚中汞含(han)量超標的魚的概率P=，……7分
所(suo)有ξ的取值為0，1，2，3，其(qi)分布列如下：
ξ0123
P(ξ)
………11分
所以ξ～，………………………………………12分
所以Eξ=1.………………………………………………13分
解法二(er)：依(yi)題意可知，這批(pi)羅非魚(yu)(yu)中汞含量超標的魚(yu)(yu)的概率P=，……7分
所有ξ的取值為(wei)0，1，2，3，其分布列如下：
ξ0123
P(ξ)
………11分
所以Eξ=.……………………………………13分
20.解：(Ⅰ)設橢(tuo)圓的標準方程為，且.
由題意(yi)可知：，.………………………………………2分
解得.
∴橢圓的(de)標準(zhun)方(fang)程為.……………………………………3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得.設(she).
(ⅰ)當直(zhi)線(xian)垂直(zhi)于(yu)軸時，直(zhi)線(xian)的方程為.
由解得：或
即(ji)(不妨設點(dian)在軸(zhou)上方(fang)).…………………5分
則直線的(de)斜率(lv)，直線的(de)斜率(lv).
∵，得.
∴.………………………………………6分(fen)
(ⅱ)當直線與軸不(bu)垂直時，由題意可設直線的方程為.
由消去得：.
因為(wei)點(dian)在橢圓的內部(bu)，顯(xian)然.
………………………………………8分
因為，，，
所以
∴.即為直角(jiao)三角(jiao)形.……………11分
假設存(cun)在直線使得為等腰三角形，則.
取(qu)的中點，連接，則.
記點為.
另一方(fang)面(mian)，點的橫坐(zuo)標，
∴點的縱坐標.
又
故(gu)與(yu)不垂直，矛盾(dun).
所以當直(zhi)線與軸不垂直(zhi)時，不存在(zai)直(zhi)線使得為等腰三(san)角形(xing).
………………………………………13分(fen)
21.解：(Ⅰ)因為①當時，，
所以方程有實數根0;
②，
所以(yi)，滿足條件;
由①②，函(han)數是(shi)集合中的元(yuan)素.…………5分
(Ⅱ)假設方(fang)程(cheng)存在兩個實數根，，
則，.
不(bu)妨設，根據題意存在(zai)，
滿足.
因為，，且，所以.
與已(yi)知矛盾.又有實數根，
所以(yi)方(fang)程有且只有一個實數(shu)根.…………10分
(Ⅲ)當時(shi)，結論顯(xian)然成(cheng)立;……………………………………………11分(fen)[來源:學&科&網Z&X&X&K]
當，不妨設.
因為,且(qie)所以(yi)為增(zeng)函數，那么.
又因為，所以函數為減函數。
