備課

分析教學問題

①分析教材：

不等式歷來是高考的重點內容。對于本將來講，考察有關不等式性質的基礎知識、基本方法，而且還考察邏輯推理能力、分析問題、解決問題的能力。本將內容在復習時，要在思想方法上下功夫。

預測2010年的高考命題趨勢：

1．從題型上來看，選擇題、填空題都有可能考察，把不等式的性質與函數、三角結合起來綜合考察不等式的性質、函數單調性等，多以選擇題的形式出現，解答題以含參數的不等式的證明、求解為主；

2．利用基本不等式解決像函數 的單調性或解決有關值問題是考察的重點和熱點，應加強訓練。

②分析學生：對公式的記憶可能會有困難，對證明題方法的把握可能不準。

確定教學目標（三維目標）

掌握知識技能、過程方法、情感態度與價值觀

1．不等關系

通過具體情境，感受在現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，了解不等式（組）的實際背景；

2．基本不等式：（a,b≥0）

①探索并了解基本不等式的證明過程；

②會用基本不等式解決簡單的大（小）問題

建立解決教學的方案

①     重點、難點：、

1.       理解不等式的性質。2.熟練掌握兩個正數的均值定理，并會解決一些實際問題。

3掌握用分析法、綜合法和比較法證明簡單的不等式。

教學方式：講授

教學環境和教具：多媒體

上課

運行方案

1.導課：1．不等式的性質

比較兩實數大小的方法——求差比較法

；

；

。

定理1：若 ，則 ；若 ，則 ．即 。

說明：把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向，稱為不等式的對稱性。

定理2：若 ，且 ，則 。

說明：此定理證明的主要依據是實數運算的符號法則及兩正數之和仍是正數；定理2稱不等式的傳遞性。

定理3：若 ，則 。

說明：（1）不等式的兩邊都加上同一個實數，所得不等式與原不等式同向；

（2）定理3的證明相當于比較 與 的大小，采用的是求差比較法；

（3）定理3的逆命題也成立；

（4）不等式中任何一項改變符號后，可以把它從一邊移到另一邊。

定理3推論：若 。

說明：（1）推論的證明連續兩次運用定理3然后由定理2證出；（2）這一推論可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相加，即：兩個或者更多個同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；（3）同向不等式：兩個不等號方向相同的不等式；異向不等式：兩個不等號方向相反的不等式。

定理4．如果 且 ，那么 ；如果 且 ，那么 。

推論1：如果 且 ，那么 。

說明：（1）不等式兩端乘以同一個正數，不等號方向不變；乘以同一個負數，不等號方向改變；（2）兩邊都是正數的同向不等式的兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向；（3）推論可以推廣到任意有限個兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘。這就是說，兩個或者更多個兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向。

推論2：如果 ， 那么   。

定理5：如果 ，那么   。

2．基本不等式

定理1：如果 ，那么 （當且僅當 時取“ ”）。

說明：（1）指出定理適用范圍： ；（2）強調取“ ”的條件 。

定理2：如果 是正數，那么 （當且僅當 時取“=”）

說明：（1）這個定理適用的范圍： ；（2）我們稱 的算術平均數，稱的幾何平均數。即：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。

3．常用的證明不等式的方法

（1）比較法

比較法證明不等式的一般步驟：作差—變形—判斷—結論；為了判斷作差后的符號，有時要把這個差變形為一個常數，或者變形為一個常數與一個或幾個平方和的形式，也可變形為幾個因式的積的形式，以便判斷其正負。

（2）綜合法

利用某些已經證明過的不等式（例如算術平均數與幾何平均數的定理）和不等式的性質，推導出所要證明的不等式，這個證明方法叫綜合法；利用某些已經證明過的不等式和不等式的性質時要注意它們各自成立的條件。

綜合法證明不等式的邏輯關系是： ，及從已知條件 出發，逐步推演不等式成立的必要條件，推導出所要證明的結論 。

（3）分析法

證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法。

（1）“分析法”是從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題，即“執果索因”；

（2）綜合過程有時正好是分析過程的逆推，所以常用分析法探索證明的途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程。

2.教學結構：典例解析

題型1：考查不等式性質的題目

例1．（1）（06上海文，14）如果，那么，下列不等式中正確的是（    ）

（A）        （B）        （C）         （D）

（2）（06江蘇，8）設a、b、c是互不相等的正數，則下列等式中不恒成立的是

（A） 　　　（B）

（C） 　　　　　 （D）

解析：（1）答案：A；顯然 ，但無法判斷 與 的大小；

（2）運用排除法，C選項，當a－b<0時不成立，運用公式一定要注意公式成立的條件，如果，如果a,b是正數，那么

點評：本題主要考查.不等式恒成立的條件，由于給出的是不完全提干，必須結合選擇支，才能得出正確的結論。

例2．（1）（2003京春文，1）設a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，則下列結論中正確的是（    ）

A.a+c>b+d          B.a－c>b－d        C.ac>bd             D.

（2）（1999上海理，15）若a<b<0，則下列結論中正確的命題是（    ）

A 和 均不能成立

B. 和 均不能成立

C.不等式 和（a+ ）²>（b+ ）²均不能成立

D.不等式 和（a+ ）²>（b+ ）²均不能成立

解析：（1）答案：A；∵a>b，c>d，∴a+c>b+d；

（2）答案：B

解析：∵b<0，∴－b>0，∴a－b>a，又∵a－b<0，a<0，∴ 。

故 不成立。

∵a<b<0，∴|a|>|b|，∴ 故 不成立。由此可選B。

另外，A中 成立.C與D中（a+ ）²>（b+ ）²成立。

其證明如下：∵a<b<0， <0，∴a+ <b+ <0，∴|a+ |>|b+ |，

故（a+ ）²>（b+ ）²。

點評：本題考查不等式的基本性質。

題型2：基本不等式

例3．（06浙江理，7）“a＞b＞0”是“ab＜ ”的（   ）

(A)充分而不必要條件       　　　　　     (B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件　　　　　　              (D)既不允分也不必要條件

解析：A； 中參數的取值不只是指可以取非負數。均值不等式滿足 。

點評：該題考察了基本不等式中的易錯點。

例4．（1）（2001京春）若實數a、b滿足a+b=2，則3^a+3^b的小值是（    ）

A.18                   B.6              C.2                 D.2

（2）（2000全國，7）若a＞b＞1，P＝ ，Q＝（lga＋lgb），R＝lg（），則（    ）

A.R＜P＜Q                                       B.P＜Q＜R

C.Q＜P＜R                                              D.P＜R＜Q

解析：（1）答案：B；3^a+3^b≥2 =6，當且僅當a=b=1時取等號。故3^a+3^b的小值是6；

（2）答案：B；∵lga＞lgb＞0，∴ （lga＋lgb）＞ ，即Q＞P，

又∵a＞b＞1，∴ ，

∴ （lga＋lgb），

即R＞Q，∴有P＜Q＜R，選B。

點評：本題考查不等式的平均值定理，要注意判斷等號成立的條件。

題型3：不等式的證明

例5．已知a＞0，b＞0，且a+b=1   求證   (a+ )(b+ )≥ 。

證法一： (分析綜合法）

欲證原式，即證4(ab)²+4(a²+b²)－25ab+4≥0，

即證4(ab)²－33(ab)+8≥0，即證ab≤ 或ab≥8  

∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立

∵1=a+b≥2 ，∴ab≤ ，從而得證。

證法二： (均值代換法)

設a= +t₁，b= +t₂。

∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t₁+t₂=0，|t₁|＜，|t₂|＜ ，

顯然當且僅當t=0，即a=b= 時，等號成立。

證法三：(比較法)

∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2 ，∴ab≤ ，

證法四：(綜合法)

∵a+b=1， a＞0，b＞0，∴a+b≥2 ，∴ab≤ ，

    。

證法五：(三角代換法)

∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin²α，b=cos²α，α∈(0， )，

點評：比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述：如果作差以后的式子可以整理為關于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法證。

3.設計誘發學生思維的問題：三個同學對問題“關于 的不等式 ＋25＋| －5 |≥ 在[1，12]上恒成立，求實數的取值范圍”提出各自的解題思路。

甲說：“只須不等式左邊的小值不小于右邊的大值”；

乙說：“把不等式變形為左邊含變量 的函數，右邊僅含常數，求函數的值”；

丙說：“把不等式兩邊看成關于 的函數，作出函數圖像”；

參考上述解題思路，你認為他們所討論的問題的正確結論，即的取值范圍是     。

答案：a≤10。

點評：該題通過設置情景，將不等式知識蘊含在一個對話情景里面，考查學生閱讀能力、分析問題、解決問題的能力。

課后反思

評價效果

學生評價

一題多解，開放了學生的思路

自我評價

還需要總結分類討論的思想

修改措施

加一道分類討論題，（x－a）（x－a²）＜0，∴x₁＝a，x₂＝a²。

當a=a²時，a=0或a=1，x∈ ，當a＜a²時，a＞1或a＜0，a＜x＜a²，

當a＞a²時0＜a＜1，a²＜x＜a，

∴當a＜0時a＜x＜a²，當0＜a＜1時，a²＜x＜a，當a＞1時，a＜x＜a²，當a=0或a=1時，x∈ 。

備課

分析教學問題

①分析教材數列求和和數列綜合及實際問題在高考中占有重要的地位，一般情況下都是出一道解答題，解答題大多以數列為工具，綜合運用函數、方程、不等式等知識，通過運用逆推思想、函數與方程、歸納與猜想、等價轉化、分類討論等各種數學思想方法，這些題目都考察考生靈活運用數學知識分析問題和解決問題的能力，它們都屬于中、高檔題目。

有關命題趨勢：

1．數列是一種特殊的函數，而不等式則是深刻認識函數和數列的有效工具，三者的綜合題是對基礎和能力的雙重檢驗，在三者交匯處設計試題，特別是代數推理題是高考的重點；

2．數列推理題是將繼續成為數列命題的一個亮點，這是由于此類題目能突出考察學生的邏輯思維能力，能區分學生思維的嚴謹性、靈敏程度、靈活程度；

3．數列與新的章節知識結合的特點有可能加強，如與解析幾何的結合等；

4．有關數列的應用問題也一直備受關注。

預測2010年高考對本將的考察為：

1．可能為一道考察關于數列的推導能力或解決生產、生活中的實際問題的解答題；

2．也可能為一道知識交匯題是數列與函數、不等式、解析幾何、應用問題上等聯系的綜合題，以及數列、數學歸納法等有機結合。 

②分析學生：可能對公式的熟練程度不夠，對解題思想理解不深刻

確定教學目標（三維目標）

掌握知識技能、過程方法、情感態度與價值觀

1．探索并掌握一些基本的數列求前n項和的方法；

2．能在具體的問題情境中，發現數列的數列的通項和遞推關系，并能用有關等差、等比數列知識解決相應的實際問題。 

建立解決教學的方案

①     重點、難點：、

求通項常用方法

①作新數列法。作等差數列與等比數列；

②累差疊加法。

③等比數列中，S_m+n=S_n+qⁿS_m=S_m+q^mS_n；

④裂項求和

⑤錯項相消法

⑥并項求和。⑦通項分解法：  

教學方式：講授

教學環境和教具：多媒體

上課

運行方案

1、導課1．數列求通項與和

（1）數列前n項和S_n與通項a_n的關系式：a_n=    。

（2）求通項常用方法

①作新數列法。作等差數列與等比數列；

②累差疊加法。基本的形式是：a_n=(a_n－a_n－1)+(a_n－1+a_n－2)+…+(a₂－a₁)+a₁；

③歸納、猜想法。

（3）數列前n項和

①重要公式：1+2+…+n= n(n+1)；

1²+2²+…+n²= n(n+1)(2n+1)；

1³+2³+…+n³=(1+2+…+n)²= n²(n+1)²；

②等差數列中，S_m+n=S_m+S_n+mnd；

③等比數列中，S_m+n=S_n+qⁿS_m=S_m+q^mS_n；

④裂項求和

將數列的通項分成兩個式子的代數和，即a_n=f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中間的許多項，這種先裂后消的求和法叫裂項求和法。用裂項法求和，需要掌握一些常見的裂項，如：、 = －、n·n！=(n+1)!－n!、C_n－1^r－1=C_n^r－C_n－1^r、 = － 等。

⑤錯項相消法

對一個由等差數列及等比數列對應項之積組成的數列的前n項和，常用錯項相消法。 , 其中 是等差數列， 是等比數列，記，則，…

⑥并項求和

把數列的某些項放在一起先求和，然后再求S_n。

數列求通項及和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法。

⑦通項分解法：

2．遞歸數列

數列的連續若干項滿足的等量關系a_n+k=f(a_n+k－1,a_n+k－2,…,a_n)稱為數列的遞歸關系。由遞歸關系及k個初始值可以確定的一個數列叫做遞歸數列。如由a_n+1=2a_n+1，及a₁=1，確定的數列即為遞歸數列。

遞歸數列的通項的求法一般說來有以下幾種：

（1）歸納、猜想、數學歸納法證明。

（2）迭代法。

（3）代換法。包括代數代換，對數代數，三角代數。

（4）作新數列法。常見的是作成等差數列或等比數列來解決問題：

2、教學結構：題型1：裂項求和

例1．已知數列 為等差數列，且公差不為0，首項也不為0，求和： 。

解析：首先考慮 ，則 = 。

點評：已知數列 為等差數列，且公差不為0，首項也不為0，下列求和 也可用裂項求和法。

例2．求 。

解析： ，
   
        

點評：裂項求和的關鍵是先將形式復雜的因式轉化的簡單一些。

題型2：錯位相減法

例3．設a為常數，求數列a，2a²，3a³，…，naⁿ，…的前n項和。

解析：①若a=0時，S_n=0；

②若a=1，則S_n=1+2+3+…+n= ；

③若a≠1，a≠0時，S_n-aS_n=a（1+a+…+a^n-1-naⁿ），

S_n= 。

例4．已知 ，數列 是首項為a，公比也為a的等比數列，令 ，求數列 的前 項和 。

解析： ，

①-②得： ，

點評：設數列 的等比數列，數列 是等差數列，則數列 的前 項和 求解，均可用錯位相減法。

題型3：倒序相加

例5．求 。

    解析：。  ①

    又。  ②

所以 。

點評：S_n表示從第一項依次到第n項的和，然后又將S_n表示成第n項依次反序到第一項的和，將所得兩式相加，由此得到S_n的一種求和方法。

例6．設數列 是公差為 ，且首項為 的等差數列，

求和：

解析：因為 ，

，

。

點評：此類問題還可變換為探索題形：已知數列 的前 項和 ，是否存在等差數列 使得 對一切自然數n都成立。

題型4：其他方法

例7．求數列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，…前n項和。

    解析：本題實質是求一個奇數列的和。在該數列的前n項中共有 個奇數，故 。

例8．求數列1，3＋ ，3²＋ ，……，3ⁿ＋ 的各項的和。

解析：其和為(1＋3＋……＋3ⁿ)＋( ＋……＋ )= = (3^n＋1－3^-n)。

題型5：數列綜合問題

例9．（ 2006年浙江卷）已知函數 ＝x³+x²，數列 | x_n | （x_n > 0）的第一項x₁＝1，以后各項按如下方式取定：曲線y＝在處的切線與經過（0，0）和（x_n，f（x_n））兩點的直線平行（如圖）。

求證：當n 時：（I） ；（II） 。

解析：（I）因為

所以曲線 在 處的切線斜率

因為過 和 兩點的直線斜率是

所以 .

（II）因為函數 當 時單調遞增，

而

所以 ，即

因此

又因為

令 則

因為 所以

因此

故

點評：數列與解析幾何問題結合在一塊，數列的通項與線段的長度、點的坐標建立起聯系。

3誘發學生思維的問題：思維總結

1．數列求和的常用方法

（1）公式法：適用于等差、等比數列或可轉化為等差、等比數列的數列；

（2）裂項相消法：適用于 其中{ }是各項不為0的等差數列，c為常數；部分無理數列、含階乘的數列等；

（3）錯位相減法：適用于 其中{ }是等差數列， 是各項不為0的等比數列。

（4）倒序相加法：類似于等差數列前n項和公式的推導方法.

（5）分組求和法

（6）累加（乘）法等。

2．常用結論

（1）  1+2+3+...+n =      

（2） 1+3+5+...+(2n-1) =

   （3）  

（4）   

（5）   

（6）

課后反思

評價效果

學生評價

題型全，精煉。典型題講解的透

自我評價

提高學生對題型的理解。

修改措施

．直接用公式時，注意公式的應用范圍和推導過程